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Il rapporto tra forma e numero

di Federico Bellavia, Gabriele Cascino, Valerio Liga, Roberto Lipari, Federico Pirrone, Giuseppe Santilli (II Q)

a cura di:  Prof.ssa Paola Campanella, Prof.ssa Linda Di Giovanna

La relazione tra rappresentazione artistica e matematica riguarda la storia dell’arte sin dalle sue prime manifestazioni. Nell’arte antica, dalla scultura all’architettura, si è infatti quasi costantemente alla ricerca di un canone oggettivo, che sia basato su un preciso sistema di misure e proporzioni che vengono studiate per raggiungere armonia ed equilibrio. 

Quello che definiremo aspetto geometrico del testo figurativo, riguarda sia la composizione del testo figurativo nella sua globalità, che la forma dei singoli elementi che vanno a costituirlo. Volendo fare un parallelo con un testo scritto possiamo affermare che la natura geometrica del testo figurativo si può accostare ad ogni livello di elaborazione di un testo. Vi è un livello di definizione morfologica delle singole parole, quello più evoluto della frase e del periodo, e infine quello del testo nella sua integrale complessità di formulazione. 

In arte come in architettura, il numero è spesso lo strumento individuato per la gestione della forma. Il numero infatti da sempre determina la forma condizionandone gli aspetti visivi. Tali concetti hanno portato ad una definizione dell’estetica matematica, di origine araba che è stata poi ripresa da Grossatesta nell’ambito dell’estetica medievale.

Nel mondo islamico, il principio della perfezione geometrica infatti condusse alla creazione di modelli estetici applicati all’architettura e all’arte in generale. Per i musulmani la geometria diventa sia il mezzo che il fine ed il mondo stesso è descritto in termini di pura geometria.

Come scrive G.H. Hardy in Apologia di un matematico, «Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle».

 Le figure geometriche, dalle più semplici come i quadrati, triangoli, rettangoli e cerchi, alle più complesse come i poliedri, sono capaci di rivelare la bellezza. La geometria trasforma forme, spazi e superfici in prodotti che rispecchiano sia bellezza che conoscenza. Secondo Ikhwan al-Safà, anche nella manifattura, l’edilizia e l’ingegneria vi è conoscenza geometrica. Come teoria e pratica, la geometria permette di fondere insieme l’ideale astratto matematico con la concreta realtà della materia.

Scrive il prof. Oddo, docente di Storia dell’arte di Palermo:

“ … tutte le soluzioni figurative a motivi geometrici hanno, costituzionalmente, una programmatica contiguità con le forme della geometria piana, di cui sfruttano, nel processo di composizione del testo, come necessaria sottotraccia elaborativa, le proprietà notevoli solitamente associate a quella specifica forma geometrica.”. 

 

La matematica dunque, determina oggettivamente la forma, poiché permette la conversione di un concetto geometrico da ente astratto, logicamente definito, in ente concreto.

L’uso sapiente della geometria si afferma derivi in origine dalla necessità da parte dell’uomo di dividere l’ordine dal caos. Giulio Preti mette in evidenza nei suoi studi il contributo scientifico arabo nella matematica. Afferma che base della matematica musulmana erano gli Elementi geometrici di Euclide di Alessandria; (Gli Arabi) sono i commentatori islamici di Euclide gli iniziatori medioevali della critica al quinto postulato euclideo delle parallele dalla quale più tardi si giungerà alle geometrie non-euclidee. Aggiunge poi che della matematica greca antica gli arabi non si limitarono ad Euclide: «conoscevano, e avevano tradotto, i lavori di Archimede, Apollonio, Pappo ed altri geometri (…)l’aspetto più originale della loro matematica è costituito dalla aritmetica-algebra».

Il rapporto tra l’architettura e la matematica è stato evidenziato in passato, dall’applicazione dei motivi geometrici nei pavimenti decorati, essendo essi la più grande superficie piana ininterrotta negli edifici sacri. Un matematico ancora oggi utilizza il termine “pavimentazione” per indicare la copertura di una superficie. 

Decorazione cosmatesca

Questo tipo di decorazione prende il suo nome dai membri di alcune famiglie di artigiani marmisti attivi nell’area romana nel tardo Medioevo italiano. Il termine cosmatesco si riferisce in  particolare allo stile di decorazione policroma caratterizzata dall’impiego di tessere o piccoli tasselli di marmo, granito o ceramica finalizzati a generare motivi geometrici. I cosmati  possedevano regole secondo le quali creare e combinare le forme, così come gli scrittori impiegano le regole grammaticali per determinare le parole opportune a formare dei periodi. 

 

Romani furono i primi a usare il marmo in lastre (opus sectile) per le applicazioni murarie (sectilia). Nella stesura dei pavimenti compaiono sia lastrine di marmo di una certa dimensione (opus sectile) sia tessere di pietra più piccole (opus tesselatum), spesso usate contemporaneamente per creare diversi effetti di superficie. 03Nei pavimenti delle basiliche paleocristiane troviamo una decorazione che indica l’asse di simmetria come percorso o via. I pavimenti cosmateschi svolgono, la funzione di elemento organizzatore dello spazio e indicatore di direzioni.  Questo perché generalmente sono composti da un elemento lineare che corre lungo la navata, attraversa il coro per giungere all’altare... Gli artigiani chiamati Cosmati delineavano l’asse con un motivo lineare detto guilloche, composto di tondi di granito disposti in una linea e collegati tra loro da fasci di marmo bianco intrecciati. 

Gli elementi lineari di guilloche e quinconce son quelli che sottolineano una ininterrotta progressione. Le fasce sinuose che collegano i tondi sono percepite come continue e intrecciate piuttosto che come giustapposizione di parti disgiunte.

Il motivo lineare definisce lo spazio della navata sia come elemento architettonico – un corridoio – che come passaggio simbolico, pellegrinaggio terrestre del cristiano prima della sua ascensione nel regno dei cieli. 

02Questo elemento lineare può essere composto da uno o da una combinazione dei due motivi ricorrenti dei Cosmati, la guilloche: La guilloche, è uno dei motivi principali dei Cosmati. Tale motivo,(vedi figura chiesa di S. Elia a Castel S.Elia) è composto da una serie di rondelle collegate da fasce di marmo bianche e da motivi geometrici intrecciati e il quinconce: composto da quattro rondelle disposte intorno ad una quinta rondella centrale, il tutto collegato da fasce intrecciate.(vedi figura: S Maria Maggiore a Civita Castellana, provincia di Viterbo)

A differenza dei motivi della navata centrale, i motivi geometrici che riempiono i rettangoli che occupano, in parte o del tutto, la restante superficie pavimentata hanno un carattere a-direzionale, statico, fornendo così un ricco e coloratissimo tappeto marmoreo per gli spazi. 

Altro aspetto interessante dei pavimenti cosmateschi è la varietà di forme impiegate nella loro realizzazione. I Cosmati hanno mostrato la loro bravura nel pavimentare il piano, utilizzando le simmetrie speculari in tutti i modi possibili. 

 

Modo di operare: 

I metodi di posa dei pezzi del mosaico si ispiravano la creazione di motivi di riempimento dello spazio. I Cosmati cominciavano il loro lavoro da una scala più grande per finire a scale sempre più piccole. Realizzarono uno stile decorativo unico nel suo genere con una ridotta gamma di colori composta da tessere rosse, verdi, bianche, gialle e combinandole in una varietà molteplice di forme.

Quando parliamo di“struttura geometrica di base” riferiamo che essa sia costituita dal complesso delle diagonali, delle mediane, da segmenti connettori di punti medi qualsiasi, dai tracciati di messa in risalto delle angolazioni canoniche e da quant'altro possa essere schematicamente associabile alla figura di riferimento. 

Nella definizione del soggetto, la figura iniziale del percorso generativo dell'immagine, viene progressivamente scomposta, secondo modalità procedurali di rigorosa aderenza agli elementi della struttura geometrica di base

Creavano una prima matrice in cui venivano collocati i pezzi più grandi del motivo; Nel pezzo base, in marmo bianco, venivano scavati gli alloggiamenti che accolgono esattamente, senza sporgenze, i tasselli di marmo colorato che formano un motivo periodico 

Il passaggio seguente consisteva nel riempire gli spazi vuoti ricavandovi gli alloggiamenti destinati ad accogliere dei moduli nella scala di grandezza immediatamente inferiore alla precedente; in questo caso, si tratta di quadrati la cui diagonale è esattamente uguale al lato del quadrato maggiore, in una configurazione ad quadratum.

Alla fine di questo secondo passaggio, gli spazi ancora integri potevano essere riempiti con pezzi che vi si incastrassero perfettamente  oppure, se lo spazio rimanente lo permetteva, potevano esservi collocati pezzi nella scala immediatamente inferiore che saturano il vuoto solo parzialmente. Questo vuoto poteva essere poi lasciato libero o riempito con pezzi che vi si incastrassero perfettamente 

Per completare il lavoro, le tracce nel marmo venivano riempite con un fondo cementizio sul quale venivano pressati i tasselli colorati. 

Il colore:

Il colore spesso sembra applicato in modo casuale, non vi è simmetria colorata. La lettura del motivo avviene in termini di contrasto di chiarezze, piuttosto che di tinte. 

Ciò è vero al punto che, come dimostra il metodo applicato dalla storica dell’arte Dorothy Glass per classificare i disegni, al fine di datare i pavimenti, è possibile astrarre i motivi come semplici disposizioni di tasselli bianchi e neri.

Riguardo gli schemi compositivi più frequenti osserviamo che la maggior parte dello spazio del pavimento è suddivisa in una griglia di rettangoli, ognuno dei quali è riempito da un motivo geometrico sovrapponibile secondo due direzioni come una carta da parati. Questo tipo di motivi è denominato a carta da parati anche dai matematici (wallpaper group). In riferimento alle  forme che compaiono nei pavimenti e cioè cerchi, triangoli, quadrati, rettangoli, rombi, esagoni ottagoni osserviamo che spesso una di queste forme è derivata da un’altra. Infatti un rombo è creato da due triangoli equilateri, un triangolo dalla divisione di un quadrato lungo una delle sue diagonali o un rettangolo formato dall’unione di due quadrati. 

Le configurazioni dei Cosmati spesso propongono combinazioni standard di queste forme, come quella che vede un quadrato ruotato di 45° e inscritto in un altro (combinazione detta ad quadratum) oppure quella che vede un triangolo ruotato di 180° e inscritto in un altro (ad triangulum) o, per finire, quella che vede un cerchio che ne contiene uno concentrico.

I triangoli sono le figure più frequentemente utilizzate come moduli riempi-spazio, specialmente nelle aree comprese tra i margini circolari di guilloche e quinconce e i bordi rettilinei che li circondano. Questi spazi curvi, quasi triangolari, sono spesso riempiti con un grande triangolo; i rimanenti interstizi sono a loro volta riempiti da triangoli più piccoli, finché non vi sia altro spazio disponibile. La configurazione motivo, risultante da questo processo, è quello che noi oggi definiamo setaccio di Sierpinski. Nella loro ricerca sulla tassellatura del piano i Cosmati, tenevano in considerazione il fatto che  la forma dello stesso spazio da riempire fosse capace di dettare le forme possibili di riempimento. Essi introducevano motivi di riempimento degli interstizi lasciati da una prima matrice determinata dalla posa dei tasselli più grandi. Se il modulo di partenza è il triangolo equilatero, ne risultava un motivo che oggi riconosciamo come il setaccio di Sierpinski.

La disposizione di triangoli, di dimensioni varie, che compongono un motivo oggi conosciuto come il "setaccio di Sierpinski". Santa Maria Maggiore a Civita Castellana 

di

Federico Bellavia, Gabriele Cascino, Valerio Liga, Roberto Lipari, Federico Pirrone, Giuseppe Santilli (II Q)

 

a cura delle Prof.sse Paola Campanella e Linda Di Giovanna





La relazione tra rappresentazione artistica e matematica riguarda la storia dell’arte sin dalle sue prime manifestazioni. Nell’arte antica, dalla scultura all’architettura, si è infatti quasi costantemente alla ricerca di un canone oggettivo, che sia basato su un preciso sistema di misure e proporzioni che vengono studiate per raggiungere armonia ed equilibrio.

Quello che definiremo aspetto geometrico del testo figurativo, riguarda sia la composizione del testo figurativo nella sua globalità, che la forma dei singoli elementi che vanno a costituirlo. Volendo fare un parallelo con un testo scritto possiamo affermare che la natura geometrica del testo figurativo si può accostare ad ogni livello di elaborazione di un testo. Vi è un livello di definizione morfologica delle singole parole, quello più evoluto della frase e del periodo, e infine quello del testo nella sua integrale complessità di formulazione.

In arte come in architettura, il numero è spesso lo strumento individuato per la gestione della forma. Il numero infatti da sempre determina la forma condizionandone gli aspetti visivi. Tali concetti hanno portato ad una definizione dell’estetica matematica, di origine araba che è stata poi ripresa da Grossatesta nell’ambito dell’estetica medievale.

Nel mondo islamico, il principio della perfezione geometrica infatti condusse alla creazione di modelli estetici applicati all’architettura e all’arte in generale. Per i musulmani la geometria diventa sia il mezzo che il fine ed il mondo stesso è descritto in termini di pura geometria.

Come scrive G.H. Hardy in Apologia di un matematico, «Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle».

 Le figure geometriche, dalle più semplici come i quadrati, triangoli, rettangoli e cerchi, alle più complesse come i poliedri, sono capaci di rivelare la bellezza. La geometria trasforma forme, spazi e superfici in prodotti che rispecchiano sia bellezza che conoscenza. Secondo Ikhwan al-Safà, anche nella manifattura, l’edilizia e l’ingegneria vi è conoscenza geometrica. Come teoria e pratica, la geometria permette di fondere insieme l’ideale astratto matematico con la concreta realtà della materia.

Scrive il prof. Oddo, docente di Storia dell’arte di Palermo:

“ … tutte le soluzioni figurative a motivi geometrici hanno, costituzionalmente, una programmatica contiguità con le forme della geometria piana, di cui sfruttano, nel processo di composizione del testo, come necessaria sottotraccia elaborativa, le proprietà notevoli solitamente associate a quella specifica forma geometrica.”.

 

La matematica dunque, determina oggettivamente la forma, poiché permette la conversione di un concetto geometrico da ente astratto, logicamente definito, in ente concreto.

L’uso sapiente della geometria si afferma derivi in origine dalla necessità da parte dell’uomo di dividere l’ordine dal caos. Giulio Preti mette in evidenza nei suoi studi il contributo scientifico arabo nella matematica. Afferma che base della matematica musulmana erano gli Elementi geometrici di Euclide di Alessandria; (Gli Arabi) sono i commentatori islamici di Euclide gli iniziatori medioevali della critica al quinto postulato euclideo delle parallele dalla quale più tardi si giungerà alle geometrie non-euclidee. Aggiunge poi che della matematica greca antica gli arabi non si limitarono ad Euclide: «conoscevano, e avevano tradotto, i lavori di Archimede, Apollonio, Pappo ed altri geometri (…)l’aspetto più originale della loro matematica è costituito dalla aritmetica-algebra».

Il rapporto tra l’architettura e la matematica è stato evidenziato in passato, dall’applicazione dei motivi geometrici nei pavimenti decorati, essendo essi la più grande superficie piana ininterrotta negli edifici sacri. Un matematico ancora oggi utilizza il termine “pavimentazione” per indicare la copertura di una superficie.

Decorazione cosmatesca

Questo tipo di decorazione prende il suo nome dai membri di alcune famiglie di artigiani marmisti attivi nell’area romana nel tardo Medioevo italiano. Il termine cosmatesco si riferisce in particolare allo stile di decorazione policroma caratterizzata dall’impiego di tessere o piccoli tasselli di marmo, granito o ceramica finalizzati a generare motivi geometrici. I cosmati possedevano regole secondo le quali creare e combinare le forme, così come gli scrittori impiegano le regole grammaticali per determinare le parole opportune a formare dei periodi.



Romani furono i primi a usare il marmo in lastre (opus sectile) per le applicazioni murarie (sectilia). Nella stesura dei pavimenti compaiono sia lastrine di marmo di una certa dimensione (opus sectile) sia tessere di pietra più piccole (opus tesselatum), spesso usate contemporaneamente per creare diversi effetti di superficie.

Nei pavimenti delle basiliche paleocristiane troviamo una decorazione che indica l’asse di simmetria come percorso o via. I pavimenti cosmateschi svolgono, la funzione di elemento organizzatore dello spazio e indicatore di direzioni.  Questo perché generalmente sono composti da un elemento lineare che corre lungo la navata, attraversa il coro per giungere all’altare... Gli artigiani chiamati Cosmati delineavano l’asse con un motivo lineare detto guilloche, composto di tondi di granito disposti in una linea e collegati tra loro da fasci di marmo bianco intrecciati.

Gli elementi lineari di guilloche e quinconce son quelli che sottolineano una ininterrotta progressione. Le fasce sinuose che collegano i tondi sono percepite come continue e intrecciate piuttosto che come giustapposizione di parti disgiunte.

Il motivo lineare definisce lo spazio della navata sia come elemento architettonico – un corridoio – che come passaggio simbolico, pellegrinaggio terrestre del cristiano prima della sua ascensione nel regno dei cieli.



Questo elemento lineare può essere composto da uno o da una combinazione dei due motivi ricorrenti dei Cosmati, la guilloche: